यदि log _{5} 2, log _{5}(2^{x}-3) और log _{5} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि पद $\log _{5} 2, \log _{5}(2^{x}-3)$ और $\log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$ $A.P.$ में हैं।तीन पदों $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के ल

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$3$

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(C) दिया गया है कि पद $\log _{5} 2, \log _{5}(2^{x}-3)$ और $\log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$ $A.P.$ में हैं।तीन पदों $a, b, c$ के $A.P.$ में होने के लिए शर्त $2b = a + c$ है।दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 \log _{5}(2^{x}-3) = \log _{5} 2 + \log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$.लघुगणक के नियम $\log m + \log n = \log(mn)$ का उपयोग करने पर: $\log _{5}(2^{x}-3)^{2} = \log _{5}(2 \cdot (\frac{17}{2}+2^{x-1}))$.लघुगणक हटाने पर: $(2^{x}-3)^{2} = 17 + 2 \cdot 2^{x-1}$.चूंकि $2 \cdot 2^{x-1} = 2^{x}$,समीकरण इस प्रकार होगा: $(2^{x}-3)^{2} = 17 + 2^{x}$.मान लीजिए $2^{x} = y$. तो $(y-3)^{2} = 17 + y$.$y^{2} - 6y + 9 = 17 + y \Rightarrow y^{2} - 7y - 8 = 0$.द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y-8)(y+1) = 0$.अतः,$y = 8$ या $y = -1$.चूंकि $y = 2^{x}$,$2^{x} = 8$ से $x = 3$ प्राप्त होता है। $2^{x} = -1$ वास्तविक $x$ के लिए संभव नहीं है।अतः,$x = 3$।

यदि $\log _{5} 2, \log _{5}(2^{x}-3)$ और $\log _{5}(\frac{17}{2}+2^{x-1})$ $A.P.$ में हैं,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

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